Es tira un dard que pot caure amb la mateixa probabilitat a qualsevol lloc de l’interval [0,1]. Quina és la probabilitat que el dard caigui al punt 0.3?
Probabilitat condicionada
Probabilitat condicionada
Definim la probabilitat condicionada d’un esdeveniment com
P(A|B)=P(A∩B)P(B)
Exemple. Durant la setmana tenim el següent menú de postres,
Dilluns
Dimarts
Dimecres
Dijous
Divendres
Dissabte
Diumenge
Fruita
Iogurt
Pastís
Fruita
Iogurt
Pastís
Fruita
Quina és la probabilitat que un dia qualsevol mengem fruita? P("Fruita") = 3/7
…i si estem al cap de setmana? P("Fruita"|"Cap de setmana") = 1/2 ← (1/7)/(2/7)
Un dia estem menjant fruita. Quina és la probabilitat que sigui cap de setmana? P("Cap de setmana"|"Fruita") = 1/3 ← (1/7)/(3/7)
Encadenament de probabilitats
Per dos esdeveniments A i B sempre es complirà
P(A∩B)=P(B)×P(A|B)[ També: P(A∩B)=P(A)×P(B|A)].
Això es pot generalitzar al següent resultat.
Encadenament de probabilitats condicionades
Si per d esdeveniments tenim P(E1∩E2∩⋯∩Ed)>0, aleshores
Suposem que dues persones es troben en una festa. Quina és la probabilitat que no facin anys el mateix dia? [P(B2)]
Si dues persones no fan anys el mateix dia, quina és la probabilitat que una tercera persona no faci anys el mateix dia? [P(B3|B2)]
Quina és la probabilitat que tres persones no facin anys el mateix dia? [P(B3)]
Si n−1 persones no fan anys el mateix dia, quina és la probabilitat que un n-èssim persona no faci anys el mateix dia? [P(Bn|Bn−1)]
Quina és la probabilitat que n persones no facin anys el mateix dia? [P(Bn)]
Amb R, podem escriure una funció recursiva que faci el càlcul plantejat:
Prob_B =function(n){# Casos trivialsif(n >365) return(0)if(n <=1) return(1)# Encadenament de probabilitats# Prob(B_n) = Prob(B_n | B_{n-1}) x Prob(B_{n-1}) (1-(n-1)/365) *Recall(n-1)}
I representar la probabilitat per n de 1 a 100:
Persones =1:100# Cridem la funció Prob_B() amb n d'1 a 100Probabilitat =sapply(Persones, Prob_B) plot(Persones, Probabilitat, ylim =c(0,1), type ='l')
Independència d’esdeveniments
Diem que dos esdeveniments són independents si
P(A)=P(A|B).
Això fa que també puguem caracteritzar la independència d’esdeveniments com,
P(A∩B)=P(A)P(B).
Activitat: Funcionament d’una xarxa
Es vol enviar un paquet a través d’una xarxa. Cada una de les 16 arestes de la xarxa funciona independentment amb probabilitat p.
Quina és la probabilitat que un paquet viatgi a través de la xarxa? [Indicació: un paquet no podrà viatjar per la xarxa si les 8 rutes estan bloquejades.]
La llei de les probabilitats totals
Si B⊆B1∪⋯∪Bn i per i≠j tenim que Bi∩Bj=∅, aleshores
P(B)=P(B1)P(B|B1)+⋯+P(Bn)P(B|Bn)
El teorema de Bayes
A vegades volem conèixer P(A|B), però l’únic que coneixem és P(B|A). El teorema de Bayes ens permet expressar-ne una a partir de l’altre.
Teorema de Bayes
Per dos esdeveniments A i B, si P(B)>0,
P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)
Combinat amb la llei de les probabilitats totals (ja que B⊆A∪Ac), també ho podem escriure com
P(A|B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(Ac)P(B|Ac)
Activitat: càlculs de probabilitats
P(A∖{B1∪B2})=0.3,
P(B1)=P(B3)=0.1,
P(A∩B2)=0.12, P(B2∖A)=0.04 i
P((A∪B1∪B2∪B3)c)=0.34.
Quin són les probabilitats de
P(A) i P(B2)
P(A∪B2) i P(B1∪B2)
P(B2|A) i P(A|B2)
Activitat: proves diagnòstiques
El metge et diu que té una mala notícia i una bona notícia.
La dolenta és que has donat positiu d’una malaltia mortal amb un test que té una exactitud del 99% (el test dona una predicció correcta el 99% dels cops).
La bona és que la malaltia és molt estranya, i aquesta només afecta una entre deu mil persones.
Quina és la probabilitat que tinguis la malaltia?
Activitat: recopilació d’informació
A vegades, les probabilitats són sensibles a com recopilem la informació.
Una família ha arribat al nostre veïnat, sabem que tenen dos infants, però en desconeixem el sexe. Sense més informació, tenim que la probabilitat que la família tingui un nen és de 34.
Suposem que després de preguntar si tenen una nena, descobrim que sí. Quina és la probabilitat que tinguin un nen?
Suposem que un dia veiem una nena corrent pel seu jardí. Quina és la probabilitat que tinguin un nen?
Activitat: recopilació d’informació A vegades, les probabilitats són sensibles a com recopilem la informació. Una família ha arribat al nostre veïnat, sabem que tenen dos infants, però en desconeixem el sexe. Sense més informació, tenim que la probabilitat que la família tingui un nen és de 3 4 . Suposem que després de preguntar si tenen una nena, descobrim que sí. Quina és la probabilitat que tinguin un nen? Suposem que un dia veiem una nena corrent pel seu jardí. Quina és la probabilitat que tinguin un nen?