Fonaments de Probabilitat

Esdeveniments

Donat un fenomen aleatori, denotem per $\Omega$ el conjunt de tots els seus possibles resultats. $\Omega$ és el que anomenem l’espai mostral d’un fenomen aleatori.

Un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l’espai mostral, $\Omega$ .

L’esdeveniment nul, denotat per $\emptyset$ , és aquell que mai succeeix.

Exemple: Tirada de dos daus

Quin esdeveniment és $E_1$ ?

Quin esdeveniment és $E_2$ ?

Operacions amb esdeveniments

La unió de dos esdeveniments $A$ i $B$ és l’esdeveniment que fa que succeeixi l’esdeveniment $A$ o el $B$ o els dos. Ho denotem com $A \cup B$ .
La intersecció de dos esdeveniments $A$ i $B$ és l’esdeveniment més gran que fa que l’esdeveniment $A$ i $B$ succeeixin simultàniament. Ho denotem com $A \cap B$ .
El complementari d’un esdeveniment $A$ és l’esdeveniment més gran on no succeeix $A$ . Ho denotem com $A^c$ .

Diem que dos esdeveniments $A$ i $B$ són incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ .

Exemples d’esdeveniments

Si $A$ és l’esdeveniment “plou” i $B$ és l’esdeveniment “el terra es mulla”, tindríem que:

$A \cup B$ seria l’esdeveniment “plou o el terra es mulla”,
$A \cap B$ seria l’esdeveniment “plou i el terra es mulla” i
$A^c$ seria l’esdeveniment “no plou”.

Si $D_i$ és l’esdeveniment “surt el número $i$ en llançar un dau de 6 cares”, tindríem que:

$D_1^c$ seria l’esdeveniment “no ha sortit l’ú”,
$D_1 \cup D_3 \cup D_5$ seria l’esdeveniment “ha sortit un nombre senar”,
$D_1^c \cap D_3^c \cap D_5^c$ seria l’esdeveniment “ha sortit un nombre parell”.

Exemple: Tirada de dos daus

…seguim amb l’exemple de la tirada de dos daus.

Què és $E_1\cup E_2$ ?

Què és $E_1^c$ ?

Què és $E_1 \cap E_2^c$ ?

Més exemples d’esdeveniments

Lleis de De Morgan

Per dos esdeveniments $A$ i $B$ qualssevol, tenim que

\begin{aligned} (A \cup B)^{c} & = A^{c} \cap B^{c} \\ (A \cap B)^{c} & = A^{c} \cup B^{c} \end{aligned}

$\begin{align}(A \cup B)^c &= A^c \cap B^c \\ (A \cap B)^c &= A^c \cup B^c\end{align}$

Sigui $J$ l’esdeveniment “en Joan és el culpable” i $M$ l’esdeveniment “la Maria és la culpable”. Expressa les afirmacions:

“No és cert que ni en Joan ni la Maria siguin els culpables” i
“En Joan o la Maria són culpables”.

en termes dels esdeveniments $J$ , $J^c$ , $M$ i $M^c$ , i comprova la seva equivalència.

Probabilitat

La probabilitat d’un esdeveniment és una quantitat que mesura quant gran és un esdeveniment dins un espai mostral.
La probabilitat d’un esdeveniment $E$ la denotem com $P(E)$ .

Axiomes de probabilitat

Per la probabilitat, fixem que aquesta serà

No negativa. Per qualsevol esdeveniment $E$ , $P(E) \geq 0$ .
Additiva. Si $E_1, E_2, E_3, \dots$ són esdeveniments disjunts, aleshores $P (E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3} \cup \dots) = P (E_{1}) + P (E_{2}) + P (E_{3}) + \dots$ $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \cdots) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) + \cdots$
Normalitzada. $P(\Omega) = 1$ .

Algunes propietats de la probabilitat

Per qualssevol esdeveniments $A$ i $B$ , tenim que:

La seva probabilitat és un nombre entre 0 i 1.

0 \leq P (A) \leq 1.

$0 \leq P(A) \leq 1.$

Denotant per $P(A^c)$ la probabilitat que no passi, tenim que

P (A^{c}) = 1 - P (A) .

$P(A^c) = 1-P(A).$

Principi d’inclusió-exclusió

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

El principi d’inclusió-exclusió

Per tres esdeveniments $A$ , $B$ i $C$ , tenim

\begin{aligned} P (A \cup B \cup C) = & P (A) + P (B) + P (C) \\ - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) \\ + P (A \cap B \cap C) \end{aligned}

$\begin{align}P(A \cup B \cup C) = & \; P(A) + P(B) + P(C) \\&- P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) \\&+ P(A \cap B \cap C)\end{align}$

Per $d$ esdeveniments $A_1, \dots, A_d$ ,

\begin{aligned} P (⋃_{i = 1}^{d} A_{i}) = & \sum_{i = 1}^{d} P (A_{i}) - \sum_{i, j : i < j} P (A_{i} \cap A_{j}) + \\ \sum_{i, j, k : i < j < k} P (A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}) - \dots (- 1)^{d - 1} P (A_{1} \cap \dots \cap A_{d}) \end{aligned}

$\begin{align}P\left(\bigcup_{i=1}^d A_i\right) =& \sum_{i=1}^d P(A_i) - \sum_{i,j:i<j} P(A_i \cap A_j) + \\ &\sum_{i,j,k:i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \dots (-1)^{d-1} P(A_1 \cap \dots \cap A_d)\end{align}$

Activitat: Llançament d’un dard

Es tira un dard que pot caure amb la mateixa probabilitat a qualsevol lloc de l’interval [0,1]. Quina és la probabilitat que el dard caigui al punt 0.3?

Probabilitat condicionada

Probabilitat condicionada

Definim la probabilitat condicionada d’un esdeveniment com

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Exemple. Durant la setmana tenim el següent menú de postres,

Dilluns	Dimarts	Dimecres	Dijous	Divendres	Dissabte	Diumenge
Fruita	Iogurt	Pastís	Fruita	Iogurt	Pastís	Fruita

Quina és la probabilitat que un dia qualsevol mengem fruita? $P(\text{"Fruita"})$ = 3/7

…i si estem al cap de setmana? $P(\text{"Fruita"} | \text{"Cap de setmana"})$ = 1/2 ← (1/7)/(2/7)

Un dia estem menjant fruita. Quina és la probabilitat que sigui cap de setmana? $P(\text{"Cap de setmana"} | \text{"Fruita"})$ = 1/3 ← (1/7)/(3/7)

Encadenament de probabilitats

Per dos esdeveniments $A$ i $B$ sempre es complirà

P (A \cap B) = P (B) \times P (A | B) [També: P (A \cap B) = P (A) \times P (B | A)] .

$P(A\cap B) = P(B) \times P(A | B) \;\;\;[\text{ També: } P(A\cap B) = P(A) \times P(B|A)].$

Això es pot generalitzar al següent resultat.

Encadenament de probabilitats condicionades

Si per $d$ esdeveniments tenim $P(E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_d) > 0$ , aleshores

P (E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \cap E_{d}) = P (E_{1}) \times P (E_{2} | E_{1}) \times \dots \times P (E_{d} | E_{1} \cap E_{2} \cap \dots \cap E_{d - 1})

$P(E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_d) = P(E_1)\times P(E_2|E_1) \times \cdots \times P(E_d|E_1\cap E_2 \cap \cdots \cap E_{d-1})$

Exemple: Aniversaris no coincidents

Suposem que dues persones es troben en una festa. Quina és la probabilitat que no facin anys el mateix dia? [ $P(B_2)$ ]
Si dues persones no fan anys el mateix dia, quina és la probabilitat que una tercera persona no faci anys el mateix dia? [ $P(B_3|B_2)$ ]
Quina és la probabilitat que tres persones no facin anys el mateix dia? [ $P(B_3)$ ]
Si $n-1$ persones no fan anys el mateix dia, quina és la probabilitat que un $n$ -èssim persona no faci anys el mateix dia? [ $P(B_n|B_{n-1})$ ]
Quina és la probabilitat que $n$ persones no facin anys el mateix dia? [ $P(B_n)$ ]

Amb R, podem escriure una funció recursiva que faci el càlcul plantejat:

Prob_B = function(n){
  # Casos trivials
  if(n > 365) return(0)
  if(n <= 1) return(1)
  # Encadenament de probabilitats
  # Prob(B_n) = Prob(B_n | B_{n-1}) x Prob(B_{n-1})
  (1-(n-1)/365) * Recall(n-1)
}

I representar la probabilitat per $n$ de 1 a 100:

Persones = 1:100
# Cridem la funció Prob_B() amb n d'1 a 100
Probabilitat = sapply(Persones, Prob_B) 
plot(Persones, Probabilitat, ylim = c(0,1), type = 'l')

Independència d’esdeveniments

Diem que dos esdeveniments són independents si

P (A) = P (A | B) .

$P(A) = P(A|B).$

Això fa que també puguem caracteritzar la independència d’esdeveniments com,

P (A \cap B) = P (A) P (B) .

$P(A \cap B) = P(A) P(B).$

Activitat: Funcionament d’una xarxa

Es vol enviar un paquet a través d’una xarxa. Cada una de les 16 arestes de la xarxa funciona independentment amb probabilitat $p$ .

Quina és la probabilitat que un paquet viatgi a través de la xarxa? [Indicació: un paquet no podrà viatjar per la xarxa si les 8 rutes estan bloquejades.]

La llei de les probabilitats totals

Si $B \subseteq B_1 \cup \dots\cup B_n$ i per $i\neq j$ tenim que $B_i \cap B_j = \emptyset$ , aleshores

P (B) = P (B_{1}) P (B | B_{1}) + \dots + P (B_{n}) P (B | B_{n})

$P(B) = P(B_1)P(B|B_1) + \dots + P(B_n)P(B|B_n)$

El teorema de Bayes

A vegades volem conèixer $P(A|B)$ , però l’únic que coneixem és $P(B|A)$ . El teorema de Bayes ens permet expressar-ne una a partir de l’altre.

Teorema de Bayes

Per dos esdeveniments $A$ i $B$ , si $P(B)>0$ ,

P (A | B) = \frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}

$\large P(A|B) = \frac{P(A) P(B|A)}{P(B)}$

Combinat amb la llei de les probabilitats totals (ja que $B \subseteq A \cup A^c$ ), també ho podem escriure com

P (A | B) = \frac{P (A) P (B | A)}{P (A) P (B | A) + P (A^{c}) P (B | A^{c})}

$P(A|B) = \frac{P(A) P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(A^c) P(B|A^c)}$

Activitat: càlculs de probabilitats

$P\left(A\setminus \{B_1\cup B_2\}\right) = 0.3$ ,
$P(B_1) = P(B_3)=0.1$ ,
$P(A\cap B_2) = 0.12$ , $P(B_2\setminus A) = 0.04$ i
$P((A\cup B_1 \cup B_2 \cup B_3)^c) = 0.34$ .

Quin són les probabilitats de

$P(A)$ i $P(B_2)$
$P(A \cup B_2)$ i $P(B_1 \cup B_2)$
$P(B_2 | A)$ i $P(A | B_2)$

Activitat: proves diagnòstiques

El metge et diu que té una mala notícia i una bona notícia.

La dolenta és que has donat positiu d’una malaltia mortal amb un test que té una exactitud del 99% (el test dona una predicció correcta el 99% dels cops).
La bona és que la malaltia és molt estranya, i aquesta només afecta una entre deu mil persones.

Quina és la probabilitat que tinguis la malaltia?

Activitat: recopilació d’informació

A vegades, les probabilitats són sensibles a com recopilem la informació.

Una família ha arribat al nostre veïnat, sabem que tenen dos infants, però en desconeixem el sexe. Sense més informació, tenim que la probabilitat que la família tingui un nen és de $\frac{3}{4}$ .

Suposem que després de preguntar si tenen una nena, descobrim que sí. Quina és la probabilitat que tinguin un nen?
Suposem que un dia veiem una nena corrent pel seu jardí. Quina és la probabilitat que tinguin un nen?